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各项均为正数的数列{a n }，满足a 1 =1， a 2n+1 - a 2n =2 （n∈N * ）．（1）求数列{a
各项均为正数的数列{a n }，满足a 1 =1， a 2n+1 - a 2n =2 （n∈N * ）．（1）求数列{a
2025-12-17 03:13:02
推荐回答（1个）
回答1：
（1）因为
a
n+1
2
-
a
n
2
=2
，
所以数列
{
a
2n
}
是首项为1，公差为2的等差数列．…（2分）
所以
a
2n
=1+(n-1)×2=2n-1
．…（4分）
因为a
n
＞0，所以
a
n
=
2n-1
（n∈N
*
）．…（6分）
（2）由（1）知，
a
n
=
2n-1
，所以
a
n
2
2
n
=
2n-1
2
n
．…（7分）
所以
S
n
=
1
2
+
3
2
2
+
5
2
3
+…+
2n-3
2
n-1
+
2n-1
2
n
，①…（8分）
则
1
2
S
n
=
1
2
2
+
3
2
3
+
5
2
4
+…+
2n-3
2
n
+
2n-1
2
n+1
，②…（9分）
①-②得，
1
2
S
n
=
1
2
+
2
2
2
+
2
2
3
+
2
2
4
+…+
2
2
n
-
2n-1
2
n+1
…（11分）
=
1
2
+2(
1
2
2
+
1
2
3
+
1
2
4
+…+
1
2
n
)-
2n-1
2
n+1
=
1
2
+2×
1
4
(1-
1
2
n-1
)
1-
1
2
-
2n-1
2
n+1
…（12分）
=
3
2
-
2n+3
2
n+1
．…（13分）
所以
S
n
=3-
2n+3
2
n
．…（14分）
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