清楚定义的话, 这些结论可以直接验证.
由定义, 复数a是一个n次单位根当且仅当a^n = 1.
(1) 若a, b都是n次单位根, 则a^n = b^n = 1.
于是(ab)^n = a^n·b^n = 1, 即ab也是n次单位根.
(2) 若a是n次单位根, 则a^n = 1.
显然a ≠ 0, 1/a有定义, 且(1/a)^n = 1/a^n = 1, 即1/a也是n次单位根.
(3) 首先若z = 0, 则z的n次方根只有0, 命题显然成立. 以下只考虑z ≠ 0的情况.
若a是z的一个n次方根, 则a^n = z. 可知a ≠ 0.
对z的任意一个n次方根b, 有b^n = z. 于是(b/a)^n = b^n/a^n = 1.
即b/a是一个n次单位根, 故b = a·(b/a)可写为a与某个n次单位根的乘积.
反之, 若c是一个n次单位根, 有c^n = 1.
于是(ac)^n = a^n·c^n = z, 即ac必为z的n次方根.
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