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Lotka-Volterra模型

2025-12-13 03:10:08

推荐回答（3个）

回答1：

种间竞争是指具有相似要求的物种，为了争夺空间和资源，而产生的一种直接或间接抑制对方的现象。

Lotka-Volterrra的种间竞争模型：

K是环境容纳量

N则是物种的种群数量

两者稳定共存的基本条件就是dN1/dt=0和dN2/dt=0

若dN1/dt=0，则K1-N1-αN2=0——①

若dN2/dt=0，则K2-N2-βN1=0——②

当环境全被N1占领则由②式得出N1=K2/β

当环境全被N2占领则由①式得出N2=K1/α

四种情况如图所示

回答2：

Lotka-Volterra生物数学模型很多是一个数量生态学研究模型，很多数学研究者和生态学研究者都借用这个模型的基本概念和理论框架进行了模型改进和应用研究，不单是用于生物种群之间的竞争，还有企业经营之间的竞争。楼主在所列出的图和说明是一种最基本的模式，已经对这个问题说得很清楚了，关键是理解平衡线和比例线分别是什么，对纵轴和横轴的生物学意义了解清楚，就能很好理解这个模型。

还可参考： http://episte.math.ntu.edu.tw/applications/ap_lokta/index.html
国内有些数学专业应用数学方向的研究生论文对此有比较多的探讨。

回答3：

原文链接：http://tecdat.cn/?p=19737

Stan是一种用于指定统计模型的概率编程语言。Stan通过马尔可夫链蒙特卡罗方法（例如No-U-Turn采样器，一种汉密尔顿蒙特卡洛采样的自适应形式）为连续变量模型提供了完整的贝叶斯推断。

可以通过R使用rstan 包来调用Stan，也可以通过Python使用 pystan 包。这两个接口都支持基于采样和基于优化的推断，并带有诊断和后验分析。

在本文中，简要展示了Stan的主要特性。还显示了两个示例：第一个示例与简单的伯努利模型相关，第二个示例与基于常微分方程的Lotka-Volterra模型有关。

什么是Stan？

Stan是命令式概率编程语言。
Stan程序定义了概率模型。
它声明数据和（受约束的）参数变量。
它定义了对数后验。
Stan推理：使模型拟合数据并做出预测。
它可以使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）进行完整的贝叶斯推断。
使用变分贝叶斯（VB）进行近似贝叶斯推断。
最大似然估计（MLE）用于惩罚最大似然估计。

Stan计算什么？

得出后验分布。
MCMC采样。
绘制，其中每个绘制都按后验概率的边缘分布。

请点击输入图片描述
使用直方图，核密度估计等进行绘图

安装 rstan

要在R中运行Stan，必须安装 rstan C ++编译器。在Windows上， Rtools 是必需的。

最后，安装 rstan：

install.packages(rstan)

Stan中的基本语法

定义模型

Stan模型由六个程序块定义：

数据（必填）。
转换后的数据。
参数（必填）。
转换后的参数。
模型（必填）。
生成的数量。

数据块读出的外部信息。

data { int N; int x[N]; int offset;}

变换后的数据块允许数据的预处理。

transformed data { int y[N]; for (n in 1:N) y[n] = x[n] - offset;}

参数块定义了采样的空间。

parameters {real lambda1;real lambda2;}

变换参数块定义计算后验之前的参数处理。

transformed parameters {real lambda;lambda = lambda1 + lambda2;}

在模型块中，我们定义后验分布。

model {y ~ poisson(lambda);lambda1 ~ cauchy(0, 2.5);lambda2 ~ cauchy(0, 2.5);}

最后，生成的数量块允许进行后处理。

generated quantities {int x_predict;x_predict = poisson_rng(lambda) + offset;}

类型

Stan有两种原始数据类型，并且两者都是有界的。

int 是整数类型。
real 是浮点类型。
int N;real alpha;real beta;real gamma;real zeta;

实数扩展到线性代数类型。

vector[10] a; // 列向量matrix[10, 1] b;row_vector[10] c; // 行向量matrix[1, 10] d;

整数，实数，向量和矩阵的数组均可用。

real a[10];vector[10] b;matrix[10, 10] c;

Stan还实现了各种约束类型。

simplex[5] theta; // sum(theta) = 1ordered[5] o; // o[1] < ... < o[5]positive_ordered[5] p;corr_matrix[5] C; // 对称和cov_matrix[5] Sigma; // 正定的

关于Stan的更多信息

所有典型的判断和循环语句也都可用。

if/then/elsefor (i in 1:I)while (i < I)

有两种修改后验的方法。

y ~ normal(0, 1);target += normal_lpdf(y | 0, 1);# 新版本的Stan中已弃用：increment_log_posterior(log_normal(y, 0, 1))

而且许多采样语句都是矢量化的。

parameters {real mu[N];real sigma[N];}model {// for (n in 1:N)// y[n] ~ normal(mu[n], sigma[n]);y ~ normal(mu, sigma); // 向量化版本}

贝叶斯方法

概率是认知的。例如，约翰·斯图亚特·米尔（John Stuart Mill）说：

事件的概率不是事件本身，而是我们或其他人期望发生的情况的程度。每个事件本身都是确定的，不是可能的；如果我们全部了解，我们应该或者肯定地知道它会发生，或者它不会。

对我们来说，概率表示对它发生的期望程度。

概率可以量化不确定性。

Stan的贝叶斯示例：重复试验模型

我们解决一个小例子，其中的目标是给定从伯努利分布中抽取的随机样本，以估计缺失参数的后验分布（成功的机会）。

请点击输入图片描述

步骤1：问题定义

在此示例中，我们将考虑以下结构：

数据：
，试用次数。

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，即试验n的结果（已知的建模数据）。

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参数：

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先验分布

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概率

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后验分布

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步骤2：Stan

我们创建Stan程序，我们将从R中调用它。

data {int N; // 试验次数int y[N]; // 试验成功}model {theta ~ uniform(0, 1); // 先验y ~ bernoulli(theta); // 似然}

步骤3：数据

在这种情况下，我们将使用示例随机模拟一个随机样本，而不是使用给定的数据集。

# 生成数据y = rbinom(N, 1, 0.3)y

## [1] 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

根据数据计算 MLE作为样本均值：

## [1] 0.25

步骤4：rstan使用贝叶斯后验估计

最后一步是使用R中的Stan获得我们的估算值。

## ## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 1).## Chain 1: ## Chain 1: Gradient evaluation took 7e-06 seconds## Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.07 seconds.## Chain 1: Adjust your expectations accordingly!## Chain 1: ## Chain 1: ## Chain 1: Iteration: 1 / 5000 [ 0%] (Warmup)## Chain 1: Iteration: 500 / 5000 [ 10%] (Warmup)## Chain 1: Iteration: 1000 / 5000 [ 20%] (Warmup)## Chain 1: Iteration: 1500 / 5000 [ 30%] (Warmup)## Chain 1: Iteration: 2000 / 5000 [ 40%] (Warmup)## Chain 1: Iteration: 2500 / 5000 [ 50%] (Warmup)## Chain 1: Iteration: 2501 / 5000 [ 50%] (Sampling)## Chain 1: Iteration: 3000 / 5000 [ 60%] (Sampling)## Chain 1: Iteration: 3500 / 5000 [ 70%] (Sampling)## Chain 1: Iteration: 4000 / 5000 [ 80%] (Sampling)## Chain 1: Iteration: 4500 / 5000 [ 90%] (Sampling)## Chain 1: Iteration: 5000 / 5000 [100%] (Sampling)## Chain 1: ## Chain 1: Elapsed Time: 0.012914 seconds (Warm-up)## Chain 1: 0.013376 seconds (Sampling)## Chain 1: 0.02629 seconds (Total)## Chain 1: ...## SAMPLING FOR MODEL '6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221' NOW (CHAIN 4).## Chain 4: ## Chain 4: Gradient evaluation took 3e-06 seconds## Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.03 seconds.## Chain 4: Adjust your expectations accordingly!## Chain 4: ## Chain 4: ## Chain 4: Iteration: 1 / 5000 [ 0%] (Warmup)## Chain 4: Iteration: 500 / 5000 [ 10%] (Warmup)## Chain 4: Iteration: 1000 / 5000 [ 20%] (Warmup)## Chain 4: Iteration: 1500 / 5000 [ 30%] (Warmup)## Chain 4: Iteration: 2000 / 5000 [ 40%] (Warmup)## Chain 4: Iteration: 2500 / 5000 [ 50%] (Warmup)## Chain 4: Iteration: 2501 / 5000 [ 50%] (Sampling)## Chain 4: Iteration: 3000 / 5000 [ 60%] (Sampling)## Chain 4: Iteration: 3500 / 5000 [ 70%] (Sampling)## Chain 4: Iteration: 4000 / 5000 [ 80%] (Sampling)## Chain 4: Iteration: 4500 / 5000 [ 90%] (Sampling)## Chain 4: Iteration: 5000 / 5000 [100%] (Sampling)## Chain 4: ## Chain 4: Elapsed Time: 0.012823 seconds (Warm-up)## Chain 4: 0.014169 seconds (Sampling)## Chain 4: 0.026992 seconds (Total)## Chain 4:

## Inference for Stan model: 6dcfbccbf2f063595ccc9b93f383e221.## 4 chains, each with iter=5000; warmup=2500; thin=1; ## post-warmup draws per chain=2500, total post-warmup draws=10000.## ## mean se_mean sd 10% 90% n_eff Rhat## theta 0.27 0.00 0.09 0.16 0.39 3821 1## lp__ -13.40 0.01 0.73 -14.25 -12.90 3998 1##

# 提取后验抽样# 计算后均值（估计）mean(theta_draws)

## [1] 0.2715866

# 计算后验区间

## 10% 90% ## 0.1569165 0.3934832

ggplot(theta_draws_df, aes(x=theta)) +geom_histogram(bins=20, color="gray")

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RStan：MAP，MLE

Stan的估算优化；两种观点：

最大后验估计(MAP)。
最大似然估计（MLE）。
optimizing(model, data=c("N", "y"))

## $par## theta ## 0.4 ## ## $value## [1] -3.4## ## $return_code## [1] 0

种群竞争模型 ---Lotka-Volterra模型

洛特卡（Lotka，1925）和沃尔泰拉（Volterra，1926）制定了参数化微分方程，描述了食肉动物和猎物的竞争种群。
完整的贝叶斯推断可用于估计未来（或过去）的种群数量。
Stan用于对统计模型进行编码并执行完整的贝叶斯推理，以解决从噪声数据中推断参数的逆问题。

在此示例中，我们希望根据公司每年收集的毛皮数量，将模型拟合到1900年至1920年之间各自种群的加拿大猫科食肉动物和野兔猎物。

数学模型

我们表示U（t）和V（t）作为猎物和捕食者种群数量分别。与它们相关的微分方程为：

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这里：

α：猎物增长速度。
β：捕食引起的猎物减少速度。
γ：自然的捕食者减少速度。
δ：捕食者从捕食中增长速度。

stan中的Lotka-Volterra

real[] dz_dt(data real t, // 时间real[] z, // 系统状态real[] theta, // 参数data real[] x_r, // 数值数据data int[] x_i) // 整数数据{real u = z[1]; // 提取状态real v = z[2];

观察到已知变量：

：表示在时间的物种数量

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必须推断未知变量）：

初始状态：：k的初始物种数量。

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后续状态：在时间t的物种数量k。

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参量。

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假设误差是成比例的（而不是相加的）：

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等效：

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与

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建立模型

已知常数和观测数据的变量。

data {int N; // 数量测量real ts[N]; // 测量次数>0real y0[2]; // 初始数量real y[N,2]; // 后续数量}

未知参数的变量。

parameters {real theta[4]; // alpha, beta, gamma, deltareal z0[2]; // 原始种群real sigma[2]; // 预测误差}

先验分布和概率。

model {// 先验sigma ~ lognormal(0, 0.5);theta[{1, 3}] ~ normal(1, 0.5);// 似然（对数正态）for (k in 1:2) {y0[k] ~ lognormal(log(z0[k]), sigma[k]);

我们必须为预测的总体定义变量：

初始种群（z0）。
初始时间（0.0），时间（ts）。
参数（theta）。
最大迭代次数（1e3）。

Lotka-Volterra参数估计

print(fit, c("theta", "sigma"), probs=c(0.1, 0.5, 0.9))

获得结果：

mean se_mean sd 10% 50% 90% n_eff Rhat## theta[1] 0.55 0 0.07 0.46 0.54 0.64 1168 1## theta[2] 0.03 0 0.00 0.02 0.03 0.03 1305 1## theta[3] 0.80 0 0.10 0.68 0.80 0.94 1117 1## theta[4] 0.02 0 0.00 0.02 0.02 0.03 1230 1## sigma[1] 0.29 0 0.05 0.23 0.28 0.36 2673 1## sigma[2] 0.29 0 0.06 0.23 0.29 0.37 2821 1

分析所得结果：

Rhat接近1表示收敛；n_eff是有效样本大小。
10％，后验分位数；例如。

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后验均值是贝叶斯点估计：α=0.55。
后验平均估计的标准误为0。
α的后验标准偏差为0.07。

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